				Contraintes et déformations dans les sols

Références

Holtz, R.D. and Kovacs, W. D. (1981). An Introduction to Geotechnical Engineering, Prentice Hall.

Das, B.M. (2000), Fundamentals of Geotechnical Engineering. Brooks/Cole

Das, B.M. (1997), Advanced Soil Mechanics. Taylor & Francis

Taylor (1948); Fundamentals of Soil Mechanics, Wiley, New York

Terzaghi (1943); Theoretical Soil Mechanics’, Wiley, New York.

On cherche à calculer les contraintes et les déformations dans un massif de sol subissant l'action de forces externes ou internes. On détermine d'abord l'État des Contraintes à partir de la notion de cercles de Mohr, ensuite le cheminement des contraintes. Les concepts élaborés alors permettent de calculer le tassement du sol en conditions drainée ou non.

1. État de contraintes

1.1 Notion de contraintes - Composantes

Un point D à l'intérieur d'un corps (milieu continu) est soumis à deux types de forces, une force interne B et une force externe (ou force de contact) F.

La contrainte est définie alors comme :

s_ij = est le tenseur de contrainte (défini par son intensité et sa direction)

A = section au point A

F = la force

i fait référence aux lieux perpendiculaires aux axes i (i = 1, 2, 3)

j fait référence à la force selon la direction des j (j = 1, 2, 3)

1.2 État de contraintes

L’état des contraintes en un point et selon un référentiel bien défini est défini par 9 composantes en 3-D et 4 en 2-D.

Il est écrit comme suit :

s₁₁ = s_xx = s_x, s₂₂ = s_yy = s_y, s₃₃ = s_zz = s_z

s₁₂ = s_xy = s_xy= s_yx, s_xy= s_yx du a l’équilibre des moments

s₁₃ = s_xz = s_xz= s_zx

s₂₃ = s_yz = s_yz= s_zy

1.3 Changement de repères

Même si les coordonnées du référentiel changent, l’état de contraintes en un point ne change pas.

Les contraintes principales sont normales aux sections où elles s’appliquent, sur ces sections les contraintes tangentielles sont nulles. De même, les déformations principales se développent sur ces mêmes sections où les contraintes de cisaillement sont elles aussi nulles.

2. Contraintes et déformations

· Contraintes et déformations normales

On se trouve sous l’hypothèse de faibles déformations

· Déformations volumiques

Le volume initial est V₀ = 1, alors le volume final devient

Les déformations étant suffisamment faibles (~1/100), les termes d’ordre supérieur à 1 sont négligeables…(voir Partie Mécanique des Milieux Continus)

Ainsi, on peut écrire

· Contraintes et déformations tangentielles

Dans le cas de faibles déformations

3. Comportement mécanique et concept de rupture des sols

· La contrainte verticale s’écrit

· Les déformations verticales et latérales sont :

· Le coefficient de Poisson

(v = - déformation latérale / déformation axiale)

Déformations dans les conditions de l’Essai triaxial

Valeurs typiques du coefficient de Poisson

· Comportement élastique linéaire - Comportement élastique non linéaire

Un matériau élastique retrouve sa forme initiale à la fin d’une phase de chargement tandis qu’un matériau élastoplastique développe à la fois un comportement élastique réversible et un comportement plastique irréversible durant le chargement.

o Modules élastiques tangents et sécant

Le principe de superposition est applicable aux matériaux élastiques.

· Les sols peuvent être considérés comme matériaux élasto-plastiques

Le module initial peut être obtenu également grâce aux mesures de propagation :

Vitesse d’onde de cisaillement

Vitesse d’onde de compression

Résistance au cisaillement

· Contrainte ultime

La contrainte appliqué à laquelle le matériau commence à initier des déformations permanents irréversibles est appelée contrainte ultime (yield stress). Cette contrainte s_y est la limite séparant les déformations élastiques des déformations plastiques. Cette limite n’est pas bien définie en ce qui concerne les sols.

Comportement de l’acier

Sols

Cette limite est assez variable pour un sol, elle est fonction du comportement mécanique du sol. A cet effet, cette limite ultime augmente ou diminue en fonction du fait que le sol se comporte comme un sol améliorant ses qualités mécaniques (hardening) ou en perdant (softening). Ces deux types de comportement typique des sols sont le STRAIN HARDENING ou le STRAIN SOFTENING.

· Surface de rupture (Yield surface)

· Les sols sont des matériaux élasto-plastiques

· En faibles contraintes, les sols se comportent comme des matériaux élastiques et au de las de ces niveaux de contraintes comme des matériaux élasto-plastiques.

4. Loi de Hooke

· État de contraintes pour un matériau a comportement élastique, isotrope linéaire.

2 inconnues

· Contraintes principales

est la matrice de rigidité

Rappels :

P(force) = kx

5. Déformation plane, contrainte plane, symétrie axiale, condition de confinement

· Contrainte plane : (s_y = t_yz = t_xy = 0)

· Déformation plane : (e_y(2) = g_yz = g_xy = 0)

Démonstration :

Sous forme matricielle :

· Condition d’axisymétrique

Ds_z = Ds₁, Ds_r = Ds_q = Ds₃

Sous forme matricielle :

· Condition de compression unidimensionnelle (Consolidation œdomètrique par exemple)

e_x = e_y = 0 et s_x = s_y

(e_r =e_q =0, s_r = s_q)

Module œdomètrique

· En contrainte plane, les déformations sur au moins une direction sont nulles ou assez petites pour être négligées.

· En axisymétrie, deux des contraintes sont égales.

· La rigidité des sols est une fonction de l’État de Contraintes

6. État élastique anisotrope

L’anisotropie des sols provient :

(1) Anisotropie structurale : mode de dépôt des sols, c’est une anisotropie transversale.

(2) La différence entre les contraintes selon les directions de l’espace.

· Anisotropie structurale

Les matériaux présentent ici une symétrie de révolution selon une seule direction de l’espace. Ce cas ci est idéal, cependant des complications supplémentaires surgissent des lors que le type de dépôt des matériaux n’est plus horizontal et qu’en plus toits et murs des couches de sols ne sont plus parallèles, etc.

La loi de Hooke écrit (5 constantes élastiques, v, v’, E, E’, G’)

Avec

E = Module d’Young’s dans le plan d’isotropie.

E’= Module d’Young’s dans le plan perpendiculaire au plan d’isotropie

G = E/2(1+v) = Module tangentielle dans le plan d’isotropie.

G’= Module tangentielle dans le plan normal au plan d’isotropie.

v’ = Coefficient de Poisson, v’ = v_zx = v_xz = v_zy = v_yz

v_zx = Moyenne du coefficient de Poisson déterminée à partir du rapport de la déformation dans la direction latérale (direction X) et de la déformation dans la direction verticale (direction Z). La charge est appliquée selon direction verticale (direction Z).

v = Coefficient de Poisson, v = v_xy = v_yx

· En condition d’axisymétrie, l’anisotropie transversale donne les équations élastiques suivantes :

7. États de contraintes et de déformations

· Convention de signe

Contraintes Normales : La compression est positive

Contraintes tangentielles : Si la direction du cisaillement ainsi que celle de la normale extérieure de la facette a laquelle est appliqué la contrainte tangentielle sont de signes opposes alors la contrainte y est positive. Autrement, elle est négative.

Cercles de Mohr

· Transformation axiale ou changement de repère

Convention de signe pour la contrainte tangentielle : La contrainte tangentielle est prise positive sur une facette donnée dans le cas elle peut effectuer une rotation dans le sens horaire a partir de n’importe quel point du massif de sol.

A l’équilibre :

· Cercle de Mohr

A partir des équations précédentes, on peut en tirer les équations du cercle de Mohr.

En élevant au carre les termes de chaque équation :

En écrivant

alors,

Le cercle de Mohr a pour rayon R, et pour centre O de coordonnées (s_moy., 0)

· Pole du cercle de Mohr

· Le plan est incline est fait un angle q avec les plans principaux.

· Plans quelconques

· Le cercle de Mohr en 3-D

Si toutes les contraintes principales sont considérées (3-D), il y a alors 3 cercles de Mohr. Cependant, on considère seules les contraintes majeure et mineure sont prises en compte (s₂: est la contrainte intermédiaire).

· Cercle de Mohr de deformation

Déformation principale majeure :

Déformation principale mineure :

La deformation tangentielle maximale est

Dans les sols, les déformations peuvent provenir d’un état de compression ou de traction. Il n’existe pas d’état de référence en ce qui concerne la déformation. En ce qui concerne la contrainte, on peut choisir la pression atmosphérique comme référence. Ainsi, tout changement dans l’état de déformation est dû à un changement de l’Etat de contrainte.

8. Invariants de contraintes et de dèformations

Les invariants de contraintes et de déformations sont tells qu’ils sont indépendants du référentiel pris en compte.

· Contrainte moyenne (Effet sur la variation de volume)

La contrainte moyenne est matérialisée comme étant sur la diagonale spatiale, une ligne orientée a égale angle de chacun des axes de l’espace.

· Le déviateur de contrainte (Effet sur le changement de forme, distorsion)

· Déformation volumique

· Déformation déviatorique ou distorsion

· Condition d’axisymétrie, s₂’ = s₃’ or s₂ = s₃; e₂ = e₃ (essai triaxial)

Contraintes

()

Alors, q = q’; la contrainte tangentielle n’est pas affectée par la pression interstitielle.

Déformation

· Déformation plane, e₂ = 0

Contraintes

()

où

Alors, q = q’; la contrainte tangentielle n’est pas affectée par la pression interstitielle.

Déformation

9. Loi de Hooke’s á partir des invariants de contraintes et de déformations

(pour les matériaux isotropes élastiques linéaires) (condition drainée)

(e: élastique)

(Module de déformation effective)

(Module de cisaillement)

La loi de Hooke en terme d’invariants de contraintes et de déformations est alors

Remarque :

Les contraintes de cisaillement ne provoquent point de variation de volume et les contraintes moyennes ne provoquent point de cisaillement.

· Cœfficient de Poisson

Soit

Alors

10 Loi de Hooke á partir des invariants de contraintes et de déformations en condition non drainée

Si aucun drainage n’est permis alors il n y a aucune variation de volume.

(élastique linéaire, isotrope)

Cette équation implique que Dp’=0 ou K’=¥. Et il n y a aucune raison pour que K’ tendent vers ¥, alors Dp’ = 0

· Module de deformation totale K (condition non drainée)

On pourra aussi réécrire cette équation en terme de contraintes totales,

(u traduit le fait qu’on est en condition non drainée)

Dans ce cas, Dp n’est plus nul. Alors, la seule solution triviale est K=K_u=¥, ce qui implique que n_u = 0.5.

· Module de cisaillement G

Le déviateur des contraintes n’est pas affecté par la pression interstitielle. Cela fait que,

Tenant compte de n_u = 0.5, on obtient

Pour la plupart des sols, n’»1/3, alors E_u » 1.1E’. Le module élastique non drainée est à peu près 10 % plus grand que le module élastique effectif.

11. Cheminement de contraintes

La réponse d’un system ainsi que sa stabilité et de même que lorsque la rupture a eu lieu, dépendent du cheminement des forces appliqués au systeme.

· Cheminement des contraintes

Condition initiale

Chargement 1 (compression isotrope, Ds₁= Ds₂=Ds₃)

Au point A

Pente de OA,

Chargement 2 (s₃ est constante et s₁ augmente)

Au point B

Pente de AB

Chargement 3 (s₁ constante et s₃ augmente)

Au point C

Pente de BC

· Cheminement de contraintes

Condition non drainée et condition drainée

Cheminement de contrainte totale (Total stress path, TSP) et cheminement de contrainte effective (effective stress path, ESP)

Contrainte totale

Le squelette solide, de même que l’eau supportent la charge appliquée pour un sol sature.

Condition non drainée (volume est constant)

L’eau n’est pas drainée, l’augmentation des contraintes est supportée par l’eau, c’est la surpression interstitielle.

Condition drainée

Il y a drainage de l’eau et Du tend vers zéro. Le squelette solide supporte a elle seule toute augmentation de contrainte a la fin.

Chargement 3 compression isotrope, draine)

Au point A

s’ = s-u

La pression interstitielle n’a pas d’influence sur la contrainte tangentielle

Alors que la surpression interstitielle Du₁ se dissipe, dans la mesure ou l’eau est drainée vers les zones moins chargées, la contrainte effective moyenne a la fin de chaque incrément de charge “1” est égale a la contrainte totale moyenne. Les courbes ESP et TSP sont identiques.

Chargement 2 (maintenir s₃ constant et s₁ augmente)

Essai non draine, ESP

(La pression interstitielle n’a pas d’influence sur la contrainte tangentielle)

Au point B

La variation maximale de la pression interstitielle a la fin du chargement 2 est

Dans les conditions drainées, ESP = TSP. Par contre, dans les conditions non drainées, la courbe ESP pour un sol a comportement élastique linéaire est verticale et la courbe ESP line tends a se courber quand le sol commence a se rompre.

· Cheminement des contraintes dans le cas d’une compression unidimensionnelle

(De_r = 0, condition drainée)

La pente de TSP est égale a celle de ESP,

Un cheminement de contraintes est une représentation graphique dans l’espace des contraintes. Le plan approprie pour tracer un cheminement de contraintes est le plan avec prenant en compte le deviateur des contraintes (q) en ordonnee et la moyenne des contraintes effectives (p’) ou/et la moyenne des contraintes totales (P) en abscisse. Le cheminement des contraintes effectives pour un sol a comportement elastique linaire, en condition non drainee est vertical, car Dp’=0.

13. Compression unidimensionnelle pour les sols satures (e_r = 0)

Contrainte totale = contrainte effective + pression interstitielle

La charge est entièrement supportée par les grains solides et l’eau.

Pour un sol sature, le tassement (déformation axiale) est due a l’expulsion de l ‘eau des vides. On retient ici qu’aussi bien les grains solides et l’eau sont considères relativement incompressibles.

Aussitôt que le fluide interstitiel est expulse, les grains solides sont réarranges de telle sorte que l’édifice devenant de plus en plus stable et de plus en plus dense, et ainsi le sol diminue de volume et le tassement a lieu. La rapidité d’un tel processus dépends de la perméabilité du sol. La manière a laquelle s’opèrent a la fois le réarrangement des grains ainsi que la compression se mettant en place sont fonction de la rigidité du squelette solide, qui est elle-même une fonction de la structure du sol (Holtz et Kovacs, 1981).

· Condition non drainée :

Les grains solides et l’eau interstitielle sont considères incompressibles.

e_r = déformation latérale

e_z = deformation axiale

e_p = deformation volumique

· Condition drainée :

L’indice des vides final est :

Les sables, de même que les matériaux granulaires ont de forts coefficient de perméabilités et ce processus de tassement peut être très vite termine dans un délai assez court. Cependant, ce délais peut prendre un temps assez important pour les matériaux fins, cela étant du a leurs faibles perméabilité (quelques mois a plusieurs années). Dans ce cas, le tassement est contrôle par la proportion a laquelle l’eau est expulse des vides. Ce processus est appelé consolidation.